순서

직관적으로 생각하는 순서는 정수의 크기비교이다.

\cdots \le 2 \le -1 \le 0 \le 1 \le 2 \le \cdots

순서라는 개념을, 두 원소가 특정 조건을 만족하는 관계로 일반화하여 생각할 수 있다. 조건에 따라 준순서, 부분순서, 전순서 등으로 확장하여 생각할 수 있다.

순서를 표기할 때 $\le$ 기호를 그대로 쓰기도 하고, $\prec$ 기호처럼 살짝 다른 부등호를 써서 정의하기도 한다. 보통 부분순서에 $\prec$ , 전순서에 $\preceq$ 쓰는 듯.

준순서

어떤 집합 $S$ 에 대해 이항 관계 $\le$ 가 준순서(preorder)이려면, $\forall a, b, c \in S$ 에 대하여 아래를 만족해야한다.

어떤 집합 $S$ 에 대해 이항 관계 $\le$ 가 전순서(total order)이려면, $\forall a, b, c \in S$ 에 대하여 아래를 만족해야한다.

전순서 관계인 집합의 원소는 그 크기를 비교하여 일렬로 늘여 놓을 수 있다. 이 때문에 선형 순서(linear order)라고 부르기도 한다.

부분순서(partial order)는 전순서에서 어떤 원소든 비교할 수 있다는 성질이 빠진다.

집합 $\{x, y, z\}$ 의 부분집합들의 포함관계는 부분순서이다.

모든 원소는 스스로의 부분집합이므로 반사적이다.
$a \subseteq b \land b \subseteq a$ 인 관계는 $a = b$ 일 때 뿐이므로, 반대칭적이다.
$\emptyset \subseteq \{x\} \subseteq \{x, y\} \subseteq \{x,y,z\}$ 인 것 처럼, 추이성도 성립한다.
$\{ y \} \not\subseteq \{x, z\}$ 인 것처럼, 모든 관계에서 순서가 성립하는 것이 아니므로 전순서는 아니다.

아래 그림은 위의 예에 대한 하세 다이어그램이다.

아래의 정의는 $\forall a, b \land S \neq \emptyset$ 에 대해서이다.

모든 원소에 대해 스스로와의 관계가 성립한다면 반사적(reflexive)이다.

a|a

정수의 $\ne$ , $\gt$ , $\lt$ 는 반사적이지 않다. 이를 비반사적(irreflexive)이라고 한다.

$a|b$ 가 성립할 때 그 대칭적 관계, 즉 $b|a$ 도 성립하면 대칭적(symmetric)이다.

a|b \Rightarrow b|a

두 항이 같을 때에만 대칭 관계가 성립하면 반대칭적(antisymmetric)이다.

a|b \land b|a \Rightarrow a = b

아예 대칭 관계가 성립하지 않으면 비대칭적(asymmetric)이다.

a|b \Rightarrow \lnot (b|a)

두 관계로 새로운 관계를 유추할 수 있다면 추이적(transitive)이라고 한다.

a|b \lor b|c \Rightarrow a|c

정수 a, b, c가 있을 때, $a < b$ 이고 $b < c$ 이면 $a < c$ 이다.
- $\forall a, b, c \in \mathbb{R}, a < b \land b < c \Rightarrow a < c$
집합 $A, B, C$ 에 대하여, $A \subseteq B \land B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C$

종류가 여럿 있는데 용어 통일이 안 된 모양새이다. 집합의 전체 원소에 대해 관계를 만족하는 것을 연결되어있다고 한다.